算法笔试题：1元，5元，10元，20元，50元、100元面值人民币组合给定x元的问题

最近有一道笔试题引起了小伙伴们的激烈讨论。

参考博客

作为算法菜鸟非常感谢大神的分析和举例。博客地址

问题描述

目前市面上的纸币主要有1元，5元，10元，20元，50元、100元六种，如果要买一件商品x元，有多少种货币组成方式？

思路一

现有6种面额的纸币用来组合成给定的x元金额。那么可以大致推出这个等式
sum 表示给定的金额
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}分别表示1元，5元，10元，20元，50元、100元的张数

1	sum = x1 * 1 + x2 * 5 + x3 * 10 + x4 * 20 + x5 * 50 + x6 * 100

如此看来其实就是求解满足这个等式的 {x1, x2, x3, x4, x5, x6} 的所有可能的个数。
可以通过循环来依次确定每种面额的纸币有多少张，最终来判断，不同张数的组合最终是否等于x元。
于是有了如下代码：

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test1(int x){
        int sum = 0;
        //符合条件的组合次数
        int count = 0;
        //循环次数
        int times = 0;
        //硬币面额
        int[] a = {1, 5, 10, 20, 50, 100};

        for (int i = 0; i <= x / a[5]; i++) {
            //100元可能出现的张数
            for (int j = 0; j <= x / a[4]; j++) {
                //50元可能出现的张数
                for (int k = 0; k <= x / a[3]; k++) {
                    //20元可能出现的张数
                    for (int l = 0; l <= x / a[2]; l++) {
                        //10元可能出现的张数
                        for (int m = 0; m <= x / a[1]; m++) {
                            //5元可能出现的张数
                            //for(int n=0;n<x/1;n++){//这步循环可省略
                            int n = x - (i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1]);
                            sum = i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1] + n * a[0];
                            times++;
                            if (sum == x && n >= 0) {
                                count++;
                            }
                            //}
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("循环次数：" + times);
        System.out.println("组合数：" + count);

    }

    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        //指定200元的金额
        test1(200);
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }

}

执行结果如下：

1
2
3

循环次数：142065
组合数：3274
执行时间：13ms

结果分析

这种解决方式虽然可以得到正确的结果，但是计算量很大，循环次数随着指定的金额增大会越来越高。性能也就非常差，基本上数字超过1000，就是无脑循环了。所以这并不是最优解。

思路二

从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种纸币构成sum元。

1	sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm

根据最后一个面额Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, …, sum/Vm｝,换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

...

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm

其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢？不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种纸币（所有纸币）构成sum的所有组合数。

在上面的联合等式中：

当xm=0时，有多少种组合呢？
实际上就是前i-1种纸币组合sum，有dp[i-1][sum]种！
xm = 1 时呢，有多少种组合？
实际上是用前i-1种纸币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种;
xm =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。

所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以：

1	dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0Vm] + dp[i-1][sum - 1Vm] + dp[i-1][sum - 2Vm] + ... + dp[i-1][sum - KVm];

其中K = sum / Vm

换一种更抽象的数学描述就是：

1	dp[i][sum] = \sum_{k=0}^{sum/vm} dp[i-1][sum - K*Vm]

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m

如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0.

第二种代码实现方式

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test2(int n){
        //硬币面额
        int money[]={1,5,10,20,50,100};
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[n] = 0;
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0;i < 6;++i){
            for(int j = money[i];j <= n;++j){
                dp[j] =(dp[j]+dp[j-money[i]]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
    public static void main(String[] args) {

        long startTime = System.currentTimeMillis();

        //指定200元的金额
        test2(200);

        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }

}

执行结果如下

1 2	3274 执行时间：0ms

分析

这种思路属于算法中的动态规划。也是动态规划的经典题目。很明显，大大优化了思路一的性能问题。